Mathematical Physics Equations

第一章 模型的建立：方程与定解条件

1.1 物理学中的数学物理方程

波动方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$ 三维$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\nabla^2u=0$

横向振动中$a=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$ 纵向振动中$a=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$

热传导方程 $\frac{\partial u}{\partial t}-k\nabla^2u=0$

其中$k=\frac{\lambda}{\rho c}$为热扩散率，当介质内有热量产生时，方程化为$\frac{\partial u}{\partial t}-k\nabla^2u=\frac{F}{\rho c}=f$

稳定方程

Poisson方程$\nabla^2 u=-\frac{\rho}{\epsilon}$ Laplace方程$\nabla^2 u=0$ Helmholtz方程$\nabla^2 v+k^2v=0$ 其中$k=\omega/a$为波数

以上都是二阶线性偏微分方程，但不一定定常

1.2 边界条件与初始条件

通常根据方程中的导数阶次，解出来的方程会有对应数量的未知数或未知方程，这时就需要对应数量的初始或边界条件来确定未知项

例如波动方程要给出初始时刻的位移和速度，给出端点的状态，特别的，在一端固定一端自由的纵振动杆上，$u|_{x=0}=0,\frac{\partial u}{\partial x}=p/E$

在热传导方程中则只需要初始的温度分布，边界条件则根据恒温($u|_{\Epsilon}=\phi$)、恒热流($\frac{\partial u}{\partial n}=q/\lambda$)或导热与对流换热相等

注：在常点处给出齐次边界条件只能给出零解（常点是什么？后续定义）

适定性

存在性、唯一性和稳定性条件：

• 初始条件描述初始时刻每一点的状况
• 边界条件确定地描述$t \ge 0$时边界的状况

第二章 线性偏微分方程的通解

2.1 常微分方程的情形

常系数方程

$$y''(x)+by'(x)+cy(x)=0$$

方程特解形式为$y=e^{rx}$，$r$满足$r^2+br+c=0$，若出现重根，第二解形式为$y=xe^{rx}$

若方程非齐次，$y''(x)+by'(x)+cy(x)=f(x)$，可利用常系数变易法求出特解$y^*$，再与齐次方程的通解叠加

常系数变易法

令$y^*=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$，则满足

$c_1'y_1+c_2'y_2=0$

$c_1'y_1'+c_2'y_2'=f$

$f(x)=x^n$，可令特解为$y=\sum_{k=0}^{n+2}a_kx^k$

$f(x)=e^{ax}$，可令特解为$y=Ae^{ax}$

$f(x)=cosax/sinax$，可令特解为$y=Acosax+Bsinax$

Euler方程

$$x^2y''(x)+bxy'(x)+cy(x)=0$$

方程特解形式为$y=x^{\rho}$，$\rho$满足$\rho(\rho-1)+b\rho+c=0$，若出现重根，第二解形式为$y=lnxx^{\rho}$

若方程非齐次，$f(x)=x^n$，可令特解$y^*=Ax^n$

2.2 线性偏微分方程

线性偏微分方程可写成算符的统一形式$L[u]=f$

方程类型	方程	线性算符
波动方程	$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\nabla^2u=f$	$L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\nabla^2$
热传导方程	$\frac{\partial u}{\partial t}-k\nabla^2u=f$	$L=\frac{\partial}{\partial t}-k\nabla^2$
Poisson方程	$\nabla^2u=f$	$L=\nabla^2$

线性算符满足叠加性质

第三章 分离变量法（一）

3.1 引言

分离变量法的想法是根据偏微分方程和边界条件定出含有叠加系数的一般解，一般解一般以正交函数族展开，然后由初始条件定出叠加系数。

分离变量法的过程中，会出现含有未知数的常微分方程，需要由边界条件来确定。最终求出的未知数为该常微分方程的本征值，本征值对应的常微分方程的特解是本征函数。然后将本征值带回另一常微分方程，解出通解，根据初始条件以及本征函数的正交性来定叠加系数。

注意，未知数$\lambda$取不取0方程解的形式会不一样，但通常0时对应的本征函数都不满足要求，所以不需要讨论。如两端固定弦振动问题，不要讨论（因为$\lambda$ 可能是复数，讨论时可能会出错），直接写解$u=\sum_{n=1}^{\infin}(C_nsin\frac{n\pi}{l}at+D_ncos\frac{n\pi}{l}at)sin\frac{n\pi}{l}x$，其本征函数归一化因子为$\frac{l}{2}$

3.2 两端固定弦振动

本征函数正交性讨论

$$X''+\lambda X=0\\ \alpha_1X(0)+\beta_1X'(0)=0\\ \alpha_2X(l)+\beta_2X'(l)=0$$

所以两个本征函数满足

$$X_n''+\lambda_n X_n=0\\ \alpha_1X_n(0)+\beta_1X_n'(0)=0\\ \alpha_2X_n(l)+\beta_2X_n'(l)=0$$

$$X_m''+\lambda_m X_m=0\\ \alpha_1X_m(0)+\beta_1X_m'(0)=0\\ \alpha_2X_m(l)+\beta_2X_m'(l)=0$$

两个方程交叉相乘再相减，得到$X_m(x)X_n''(x)-X_n(x)X_m''(x)+(\lambda_n-\lambda_m)X_m(x)X_n(x)=0$

积分得$(\lambda_m-\lambda_n)\int_0^lX_n(x)X_m(x)dx=\int_0^lX_m(x)X_n''(x)-X_n(x)X_m''(x)dx=X_m(x)X_n'(x)-X_n(x)X_m'(x)|_0^l$

再由边界条件即可得到等式右边为0，且$\lambda_m !=\lambda_n$，得出本征函数正交

注意，当边界条件不同时，本征值需另算，归一因子需另算。如第二类边界条件，当本征值为0时，归一因子为$l$

解的适定性讨论

存在性：级数解收敛

唯一性：能量守恒

3.3 总结

步骤

1. 分离变量，前提是方程和边界条件齐次，若非齐次，后面讨论。得到还有待定常数的常微分方程和齐次边界条件，即本征值问题
2. 求本征值和本征函数，注意不同$\lambda$的讨论
3. 叠加出一般解
4. 利用本征函数正交性定叠加系数

3.4 高维情况讨论

• 对于$N$个自变量的问题，逐次分离变量得到$N$ 个常微分方程以及$N-1$个待定常数

• 分离顺序为最先分出定系数的那个方程，剩余方程为齐次边界条件的本征值问题

• 最终一般解为$N-1$重求和，定系数时用到$N-1$套本征函数

第四章 分离变量法（二）

本章讨论方程是非齐次以及边界条件非齐次的情形，该如何使用分离变量法

4.1 两端固定弦的受迫振动

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t),0<x>l,t>0\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0,t\ge 0\\ u|_{t=0}=0,\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=0,0<x<l$$

4.1.1 方程及边界条件同时齐次化

令$u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$，其中$w$满足齐次方程、齐次初始条件和初始条件，$v$满足非齐次方程、齐次边界条件但初始条件不做要求

$$\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=0\\ w|_{x=0}=0,w|_{x=l}=0\\ w|_{t=0}=-v|_{t=0},\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=-\frac{\partial v}{\partial t}|_{t=0}$$

而$v$满足

$$\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=f(x,t)\\ v|_{x=0}=0,v|_{x=l}=0$$

显然$v$的解不唯一，在$f(x,t)$形式比较简单的情况下可以直接写出$v$的一个特解即可

4.1.2 按相应齐次问题本征函数展开

下面介绍一种不用猜$v$的特解的方法

按照分离变量法的思想，任何一个函数都可以按照正交本征函数族展开，在本问题中，首先求出对应齐次问题的本征函数族$\{X_n\}$，然后将解和非齐次项做展开$u(x,t)=\sum_{i=1}^{\infin}T_i(t)X_i(x),f(x,t)=\sum_{i=1}^{\infin}g_i(t)X_i(x)$

然后带回原方程会得到$T$的非齐次常微分方程，最后求解出$T$即可

当方程的边界条件均为齐次边界条件时，可将一般解和非齐次项直接按照多重本征函数展开，最后只需定常数系数即可，这在后面章节分离变量法总结中会有更深刻的认识

4.2 非齐次边界条件齐次化

为什么边界条件必须是齐次？

因为只有齐次的边界条件最终叠加出来的一般解才仍能满足边界条件

仍以波动方程为例

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,0<x>l,t>0\\ u|_{x=0}=\phi(t),u|_{x=l}=\nu(t),t\ge 0\\ u|_{t=0}=0,\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=0,0<x<l$$

令$u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$

仅要求$w$满足齐次边界条件$w|_{x=0}=0,w|_{x=l}=0$，则$v|_{x=0}=\phi(t),v|_{x=l}=\nu(t)$，则原方程变为

$$\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}+a^2\frac{\partial^2 v}{\partial x^2},0<x>l,t>0\\ w|_{x=0}=0,w|_{x=l}=0,t\ge 0\\ u|_{t=0}=-v|_{t=0},\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=-\frac{\partial v}{\partial t}|_{t=0},0<x<l$$

仅需找到一个$v$满足$v|_{x=0}=\phi(t),v|_{x=l}=\nu(t)$即可，可以是线性，也可以是抛物线等等，具体看问题而定

4.3 总结

面对非齐次问题，首先将边界条件齐次化，然后按照方程对应的本征值问题的本征函数展开，最后根据初始条件定系数

第五章 分离变量法（三）

本章讨论非直角坐标系下的分离变量法

5.1 正交曲面坐标系下的Laplace算符

5.1.1 柱坐标系下的Laplace算符

$$\nabla^2=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

背下来就完了！

5.1.2 球坐标系下的Laplace算符

$$\nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2 sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$$

5.1.3 柱面波和球面波

球坐标系下各向同性波动方程

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{a^2}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial u}{\partial r})=0$$

令$w=ru$，可得

$$\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2w}{\partial r^2}=0$$

最后得$u=\frac{1}{r}(f(r-at)+g(r+at))$

柱坐标系下各向同性波动方程

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{a^2}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u}{\partial r})=0$$

令$w=ru$，可得

$$\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2w}{\partial r^2}+\frac{w}{r^2}=0$$

当$r$很大时，非齐次项可以忽略，最后可得$u\approx \frac{1}{\sqrt{r}}(f(r-at)+g(r+at))$

5.2 圆形区域内的Laplace方程第一类边值问题

圆形区域的Laplace方程补充边界条件后可化为

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u }{\partial \phi^2}=0 \\ u|_{\phi=0}=u|_{\phi=2\pi} \\ \frac{\partial u}{\partial \phi}|_{\phi=0}=\frac{\partial u}{\partial \phi}|_{\phi=2\pi} \\ u|_{r=0}有界 \\ u|_{r=a}=f(\phi)$$

获得齐次边界条件后，分离变量法可得

$$r\frac{d}{dr}(r\frac{dR}{dr})-\lambda R=0$$

$$\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}+\lambda\Phi=0$$

$\phi$方向为周期边界条件，是齐次的，得到本征值问题的解为

当$\lambda=0$时，本征函数$\Phi=1$

当$\lambda_m=m^2$时，本征函数有两个$\Phi_{m1}=sinm\phi,\Phi_{m2}=cosm\phi$

$r$方向的方程是Euler方程，

当$\lambda=0$时，$R=C_0+D_0lnr$

当$\lambda=m^w$时，$R_{m1}=r^m,R_{m2}=r^{-m}$

最终叠加得到的一般解为$u=C_0+D_0lnr+\sum_{m=1}^{\infin}(C_{m1}r^m+D_{m1}r^{-m})sinm\phi+\sum_{m=1}^{\infin}(C_{m2}r^m+D_{m2}r^{-m})cosm\phi$

再根据有界边界条件，$a$处边界条件和$\Phi$的正交性定系数

径向方程的本征值问题

$$r\frac{d}{dr}(r\frac{dR}{dr})-\lambda R=0\\ R(a)=0,R(b)=0$$

$\lambda=0$时，方程解不满足边界条件

方程解的形式为$R=Asin(\sqrt{\lambda}lnr)+Bcos(\sqrt{\lambda}lnr)$

为了方便计算，形式改写为$R=Asin(\sqrt{\lambda}ln(r/a)+Bcos(\sqrt{\lambda}ln(r/a)$

得到本征值$\lambda_n=(\frac{n\pi}{lnb-lna})^2$

本征函数$R_n=sin(n\pi \frac{lnr-lna}{lnb-lna})$

正交归一关系为$\int_a^bR_n(r)R_m(r)\frac{dr}{r}=\delta_{nm}\frac{1}{2}ln\frac{b}{a}$，其中权重因子来源于方程的形式（？）

5.3 正交曲面坐标系下Helmholtz方程的分离变量法

柱坐标系

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+k^2u=0$$

分离变量可得

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dR}{dr})+(k^2-\lambda-\frac{\mu}{r^2})R=0$$

$$\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}+\mu \Phi=0$$

$$\frac{d^2Z}{dz^2}+\lambda Z=0$$

令$x=\sqrt{k^2-\lambda}r,\mu=\nu^2,y(x)=R(r)$，径向方程可化为

$$\frac{1}{x}\frac{d}{dx}(x\frac{dy}{dx})+(1-\frac{\nu^2}{x^2})y=0$$

即为Bessel方程，它的本征值是藏在$x$中的

球坐标系

$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^2 sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin^2 \theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}+k^2u=0$$

分离变量法可得

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})+(k^2-\frac{\lambda}{r^2})R=0$$

$$\frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta})+(\lambda-\frac{\mu}{sin^2\theta})\Theta=0$$

$\mu=0$时为Legendre方程，不为0时为连带Legendre方程

$$\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}+\mu \Phi=0$$

第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法

6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点

二阶线性齐次常微分方程的标准形式

$$\frac{d^2w}{dz^2}+p(z)\frac{dw}{dz}+q(z)w=0$$

$p(z),q(z)$在$z_0$处解析，即为常点，有一个不解析即为奇点

6.2 方程在常点邻域内的解

设$w=\sum_{k=0}^{\infin}c_k(x-x_0)^k$，代入方程根据Tylor展开的唯一性可得到$c_k$之间的递推关系，最终定出解

6.3 方程在正则奇点邻域内的解

$(z-z_0)p(z)$在$z_0$解析，$(z-z_0)^2q(z)$在$z_0$解析，则$z_0$为方程的正则奇点，方程解的形式为

$$w_1(z)=(z-z_0)^{\rho_1}\sum_{k=0}^{\infin}c_k(z-z_0)^k$$

$$w_2(z)=gw_1(z)ln(z-z_0)+(z-z_0)^{\rho_2}\sum_{k=0}^{\infin}d_k(z-z_0)^k$$

求解过程

先将$w_1$代入方程，求出两个线性无关解时，求解完成

若线性相关，则还需$w_2$代入求解

方程解线性无关的充要条件是Wronsky行列式不为0，方程在某个区域内解析，若在某点Wronsky行列式为0，则处处为0

第七章 球函数

7.1 Legendre多项式的引入

Helmholtz方程在球坐标系下分离变量得到连带Legendre方程

$$\frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta})+(\lambda-\frac{\mu}{sin^2\theta})\Theta=0$$

令$x=cos\theta,y(x)=\Theta(\theta)$，可改写成

$$\frac{d}{dx}((1-x^2)\frac{dy}{dx})+(\lambda-\frac{\mu}{1-x^2})y=0$$

当$\mu=0$时为Legendre方程

7.1.1 Legendre方程的解

$$\frac{d}{dx}((1-x^2)\frac{dy}{dx})+\lambda y=0$$

在常点$x=0$的解

$$y_1(x)=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{2^{2n}}{(2n)!}\frac{\Gamma(n-\frac{\nu}{2})\Gamma(n+\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma(-\frac{\nu}{2})\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}x^{2n}$$

$$y_2(x)=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{2^{2n}}{(2n+1)!}\frac{\Gamma(n-\frac{\nu-1}{2})\Gamma(n+1+\frac{\nu}{2})}{\Gamma(-\frac{\nu-1}{2})\Gamma(\frac{\nu}{2}+1)}x^{2n+1}$$

在正则奇点$x=1$的解

$$P_{\nu}(x)=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{1}{n!}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}(\frac{z-1}{2})^{n}$$

第二个解太麻烦就不写了，反正后面也用不到

7.1.2 Legendre多项式

用于解决Laplace方程，边界条件在球坐标系与$\phi$无关的情形，分离变量得到方程

$$\frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta})+\lambda \Theta=0$$

$$\Theta(0)有界,\Theta(\pi)有界$$

做变量代换$x=cos\theta,y=\Theta,\lambda=\nu(\nu+1)$，本征值问题变为Legendre方程

$$\frac{d}{dx}((1-x^2)\frac{dy}{dx})+\nu(\nu+1)y=0$$

$$y(\pm 1)有界$$

在常点邻域内的两个解在$\pm 1$点均发散，不能用

在$x=1$领域内的解第二解在$\pm 1$点均发散，第一解在1收敛，在-1发散

$$P_{\nu}(x)=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{1}{n!}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}(\frac{x-1}{2})^{n}$$

但是$\Gamma$函数在0和负整数点发散，所以当$\nu$为整数时，$n$从$\nu+1$开始为0

则该本征值问题的解为

本征值$\lambda_l=l(l+1),l=0,1,2..$（是由有界条件得到的）

本征函数$y_l(x)=P_l(x)=\sum_{n=0}^{l}\frac{1}{(n!)^2}\frac{(l+n)!}{(l-n)!}(\frac{x-1}{2})^n$，为Legendre多项式

$P_l(1)=1$

$P_0(x)=1,P_1(x)=x,P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x^),P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

7.1.3 Legendre多项式微分表示

罗巨格公式

$$P_l(x)=\frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$$

$P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)$

$P_{2l}(0)=(-1)^l\frac{(2l)!}{(2!l!)^2},P_{2l+1}(0)=0$

7.2 Legendre多项式的性质

7.2.1 正交完备性

首先证明$\int_{-1}^1x^kP_l(x)dx=0,k<l$

当$k+l=$奇数时，由奇偶性可证

当$k+l=$偶数时，代入罗巨格公式，经过$l$次分部积分，也可证

当$k=l+2n$时，$\int_{-1}^1x^{l+2n}P_l(x)dx=2^{l+1}\frac{(l+2n)!(l+n)!}{n!(2l+2n+1)!}$

当$k=l$时，$\int_{-1}^1 x^lP_l(x)dx=2^{l+1}\frac{l!l!}{(2l+1)!}$

由此得$\int_{-1}^1P_k(x)P_l(x)dx=\frac{2}{2l+1}\delta_{kl}$，即$\int_{0}^{\pi}P_k(cos\theta)P_l(cos\theta)sin\theta d\theta=\frac{2}{2l+1}\delta_{kl}$

7.2.2 生成函数

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{l=0}^{\infin}P_l(x)t^l$$

7.2.3 递推关系

由生成函数导出

$$(2l+1)xP_l(x)=(l+1)P_{l+1}(x)+lP_{l-1}(x)$$

$$P_l(x)=P_{l+1}'(x)-2xP_l'(x)+P_{l-1}'(x)$$

$$P_{l+1}'(x)=xP_l'(x)+(l+1)P_l(x)$$

$$P_{l-1}'(x)=xP_l'(x)-lP_l(x)$$

7.3 连带Legendre函数

7.3.1 连带Legendre方程

当在球坐标系下$\phi$方向没有各向同性时

$$\frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}(sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta})+(\lambda-\frac{m^2}{sin^2\theta})\Theta=0$$

$$\Theta(0)有界，\Theta(\pi)有界$$

可转化为

$$\frac{d}{dz}((1-z^2)\frac{dw}{dz})+(\nu(\nu+1)-\frac{m^2}{1-z^2})w=0$$

$$w(\pm 1)有界$$

即为连带Legendre方程

本征值$\lambda_l=l(l+1),l=m,m+1..$

本征函数$P_l^m(z)=(-1)^m(1-z^2)^{m/2}P_l^{(m)}(z)$，为m阶l次连带Legendre函数

正交性

同阶不同次的连带Legendre多项式

$$\int_{-1}^1P_k^m(x)P_l^m(x)dx=\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{2}{2l+1}\delta_{kl}$$

同时$P_l^{-m}(x)=(-1)^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(x)$

当把方程中的$\nu=l$视为不变时，求关于$m$的本征值问题，也会得到连带Legendre函数作为本征函数

$$\int_{-1}^1P_l^{m}P_l^{m'}\frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{m}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{mm'}$$

但无法构成正交完备集

7.3.2 球面调和函数

在求解球坐标系下的问题时，分离出$\theta,\phi$方向的方程，可以直接求解本征值问题

本征值$\lambda_l=l(l+1),l=0,1,2..$

本征函数$(2l+1)$重简并

$$S_{lm}(\theta,\phi)=P_l^m(cos\theta)cosm\phi,m=0,1,2..,l$$

$$S_{lm}(\theta,\phi)=P_l^m(cos\theta)sinm\phi,m=1,2..,l$$

考试时，球函数一定是边界齐次，方程不齐次的情况

第八章 柱函数

Helmholtz方程在柱坐标系下分离得到

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dR}{dr})+(k^2-\lambda-\frac{\mu}{r^2})R=0$$

令$x=\sqrt{k^2-\lambda}r,y(x)=R(r),\mu=\nu^2$，得到

$$\frac{1}{x}\frac{d}{dx}(x\frac{dy}{dx})+(1-\frac{\nu^2}{x^2})y=0$$

为（$\nu$阶）Bessel方程

8.1 Bessel方程基本解

Bessel函数

$$J_{\nu}(z)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}(\frac{z}{2})^{2k+\nu}$$

Neumann函数

$$N_{\nu}(z)=\frac{cos\nu\pi J_{\nu}(z)-J_{-\nu}(z)}{sin\nu\pi}$$

8.1.1 递推关系

$$\frac{d}{dz}(z^{\nu}J_{\nu}(z))=z^{\nu}J_{\nu-1}(z)$$

$$\frac{d}{dz}(z^{-\nu}J_{\nu}(z))=-z^{-\nu}J_{\nu+1}(z)$$

$$J_{\nu-1}(z)-J_{\nu+1}(z)=2J_{\nu}'(z)$$

$$J_{\nu-1}(z)+J_{\nu+1}(z)=\frac{2\nu}{z}J_{\nu}(z)$$

特别的

$$J_0'(z)=-J_1(z)$$

8.1.2 渐进展开

$z->0,J_{\nu}(z)=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}(\frac{z}{2})^{\nu}$

$z->\infin,J_{\nu}(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi z}cos(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4})}$

8.2 整数阶Bessel函数的性质

8.2.1 生成函数

$$exp(\frac{z}{2}(t-\frac{1}{t}))=\sum_{-\infin}^{\infin}J_n(z)t^n$$

8.2.2 积分表示

$$J_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}cos(zsin\theta-n\theta)d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{izsin\theta-in\theta}d\theta$$

用的多吗？

8.3 柱函数

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dR}{dr})+(k^2-\frac{m^2}{r})R=0$$

方程的解是柱函数$J_m(kr)$，再由齐次边界条件$J_m(ka)=0$，则$k_{mi}=\frac{\mu^{(m)}_i}{a}$，$\mu^{(m)}_i$为m阶Bessel函数的第i个正零点

正交性

$$\int_0^a J_m(k_{mi}r)J_m(k_{mj}r)rdr=0$$

第一类边界条件归一化系数$\frac{a^2}{2}(J_m'(\mu_i^{(m)}))^2$

第二类边界条件归一化系数$\frac{a^2}{2}(1-\frac{m^2}{\mu_i^{(m)2}})J_m^2(\mu_i^{(m)})$

第三类边界条件归一化系数$\frac{a^2}{2}[(J_m'(\mu_i^{(m)}))^2+(1-\frac{m^2}{\mu_i^{(m)2}})J_m^2(\mu_i^{(m)})]$

以上归一化系数都是通过将原方程交叉相乘再相减积分得到的

其他性质

$$x=4\sum_{i=1}^{\infin}\frac{1}{\mu_i^2}\frac{J_1(\mu_ix)}{J_1(\mu_i)}$$

令$x=1$，得到$\sum_{i=1}^{\infin}\frac{1}{\mu_i^2}=\frac{1}{4}$

8.4 与柱函数有关的函数

8.4.1 虚宗量

8.4.2 半奇数阶Bessel函数

8.4.3 球Bessel函数

第九章 分离变量法总结

9.1 S-L方程

9.1.1 自伴算符

若$(v,Lu)=(Lv,u)$，$L$为自伴算符

性质

1. 自伴算符本征值是实数
2. 自伴算符本征函数互相正交
3. 本征函数族是完备的

9.1.2 S-L方程的本征值问题

常微分方程的一般形式

$$\frac{d}{dx}(p(x)\frac{dy}{dx})+(\lambda\rho(x)-q(x))y=0$$

$\rho(x)$为权重函数

在$p(x)(y_1^*\frac{dy_2}{dx}-y_2\frac{dy_1^*}{dx}）=0$，引入带权内积的情况下，$L'=\frac{1}{\rho(x)}(-\frac{d}{dx}(p(x)\frac{d}{dx})+q(x))$为自伴算符

第十章 积分变换方法 & Green函数方法

10.1 Laplace变换

10.2 Fourier变换

正变换$F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{\infin}f(x)e^{-ikx}dx$

逆变换$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{\infin}F(k)e^{ixk}dk$

性质

$f'(x)=ikF(k),F'(k)=-ixf(x)$

$\int_{-\infin}^xf(\eta)d\eta=\frac{F(k)}{ik},\int_{-\infin}^{k}F(\eta)d\eta=\frac{f(x)}{-ix}$

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{\infin}f_1(y)f_2(x-y)dy=F_1(k)F_2(k)$

$f_1(x)f_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{\infin}F_1(y)F_2(k-y)dy$

$\delta(x-x')=\frac{e^{-ikx'}}{\sqrt{2\pi}},\delta(k-k')=\frac{e^{ik'x}}{\sqrt{2\pi}}$

10.3 Green函数方法

总的来说就是用点源的Green函数来表示其他函数